Если проводок (синий), идущий от гены на приборку где нить обломился, то лампочка зарядки вобще бы не горела (при включённом зажигании).
Возможен вариант, что балластный резистор в приборке не контачит. Через него на реле зарядки подаётся ток для начального возбуждения. Лампочка (светодиод) зарядки на приборке подключена параллельно резистору, и, если резистор каким то образом отключился (холодная пайка, обрыв, и т.д.), то тока через индикаторный светодиод явно не хватает для возбуждения. Сопротивление того резистора около 50-120 ом, значит, начальной ток возбуждения от приборки должен быть около 0,1-0,3 А, Померь этот ток: открути клемник возбуждения зарядки (синий) от генератора, вставь в этот разрыв амперметр (тестер), и посмотри, сколько будет показывать при включённом зажигании.
Также можно подключить между +12 и возбуждением лампочку на 2 Вт на самом генераторе, и посмотреть, как она себя ведёт при заведённом и при не заведённом моторе.